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tarjan强连通分量(转)  

2014-07-03 21:10:56|  分类: 算法杂类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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强连通分量 tarjan算法(转)

[有向图强连通分量]

在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。

下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

wps_clip_image-24103

 

大体来说有3中算法Kosaraju,Trajan,Gabow这三种!后续文章中将相继介绍,首先介绍Tarjan算法

 

[Tarjan算法]

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

 

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。

 

算法伪代码如下

tarjan(u) 
{

    DFN[u]=Low[u]=++Index     // 为节点u设定次序编号和Low初值

    Stack.push(u)                     // 将节点u压入栈中

    for each (u, v) in E               // 枚举每一条边

          if (v is not visted)          // 如果节点v未被访问过

                  tarjan(v)              // 继续向下找

                  Low[u] = min(Low[u], Low[v])

            else if (v in S)            // 如果节点v还在栈内

            Low[u] = min(Low[u], DFN[v])

    if (DFN[u] == Low[u])        // 如果节点u是强连通分量的根

       repeat

           v = S.pop                  // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点

           print v

      until (u== v)

}

 

 

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。

wps_clip_image-16442

返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。

wps_clip_image-24939

返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。

wps_clip_image-17734

继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。

wps_clip_image-10846

至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

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